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通項公式an與前n項和公式Sn的關系． 教學目標 1．瞭解數列的通項公式an與前n項和公式Sn的關系． 2．能通過前n項和公式Sn求出數列的通項公式an． 3．培養學生辯證統一的觀點． 教學重點與難點 重點：認清兩者之間的關系． 難點：通過Sn求出an的基本方法． 教學過程設計 （一）課題引入 師：回憶一下什麼是數列的通項公式？什麼是數列的前n項和？ 生：如果數列｛an｝的第n項an與n之間的函數關系可以用一個公式來表示，這個公式叫做這個數列的通項公式．即an=f（n），數列的前n項和Sn=a1+a2+…+an． 師：那麼Sn是否也可以表示成關於項數n的函數式？ （由前兩個概念，學生不難得出正確答案，教師進一步指出這個函數式稱為數列的前n項和公式） 生：Sn可以表示成關於項數n的函數式． 師：現在研究一下an與Sn兩者之間的關系，（板書）．需要考慮哪幾種關系？ （培養學生的辯證統一的觀點，對今後的數學學習是有益的，掌握此觀點，學生就可以主動地探討其他數學問題） 生：應考慮已知an是否可以求出Sn；反之，已知Sn是否可以求出an． 師：回答正確．兩者之間的關系，應該是辯證統一的．這節課我們主要研究後一種，即已知Sn是否可以求出an． （二）提示Sn與an的關系 師：（板書）例1 已知數列的前n項和Sn=n2+n．求：（1）a1，a2，a3，a4；（2）通項公式an． （由形象思維到抽象思維，由特殊到一般，是研究數學問題的一般規律，在教學中可以起到突出重點，突破難點的作用．給學生一個臺階，使學生在自己發現結論的過程中體現知識形成過程的教學） 師：（板書） 因為Sn＝a1+a2+…+an， 則a1＝S1＝2， a2＝S2-a1＝4， a3＝S3-a1-a2＝6 a4＝S4-a1-a2-a3=8， 所以通項公式an=2n． 師：請問an=2n是依據什麼得出的？ 生：由前4項猜想得出的． 師：這樣猜想得出的結果是否可靠？因為這是一種不完全歸納法，因此需要論證才能嚴謹，現階段我們有沒有什麼數學方法可以驗證結論的正確性嗎？ 生：沒有． 師：那麼我們不妨換一個角度來考慮問題．如果結果不是通過“歸納、猜想”得到的，而是通過演繹推理獲得，那麼無需證明．即是否能通過Sn推導出an？ （“歸納－猜想－證明”與演繹推理是研究數學問題的兩大類方法，也是學生應熟練掌握的．而學生在運用“歸納－猜想－證明”時，往往容易忽視“證明”這個環節，而此環節恰恰是“歸納－猜想－證明”中最重要的部分，若缺少“證明”，此法即為不完全歸納法．） 師：引導學生觀察板書，可發現： a2＝S2-a1中a1寫成S1，即a2＝S2-S1； a3＝S3-a1-a2中，a1+a2可寫成S2，即a3＝S3-S2； a4＝S4-a1-a2-a3中，a1+a2+a3可寫成S3，即a4＝S4-S3， 那麼an是否與Sn也有以上關系？ 生：因Sn＝a1+a2+a3+…+an，則an＝Sn-（a1+a2+…+an-1）．又Sn-1＝a1+a2+…+an-1，則an＝Sn-Sn-1． 師：現在大傢一起來考慮這個關系式對於任意數列，任意自然數n都能立？ （設疑可以調動學生的思維，也為下一步教學作鋪墊） 師：帶著這個問題，我們來討論一道題． （板書）例2 已知數列的前n項和Sn＝n2+n+2，求數列的通項公式an． 生：（板書）an＝Sn-Sn-1＝n2+n+2-[（n-1）2+（n-1）+2]＝2n． （做完之後，部分學生就會提出疑問，這時教師應及時因勢利導，指導學生討論，順理成章地引出本節課的難點；若沒有學生提出質疑，教師也可設問引出） 生：這個結果有問題．此題與例1得出的通項公式an是一致的，說明兩個數列應是同一個數列，而它們的前n項和Sn又不相等，這不是矛盾嗎？ 師：問題提的很好，大傢想一想，開動腦筋，討論一下，這其中的道理究竟是什麼？ （分組討論，此時學生思維是非常活躍的，方法也很多，教師在巡視過程中，應註意發現積極有意義的成份） 生：我用前面歸納a1，a2，a3，…的方法計算瞭一下，得出：a1＝S1＝4，a2＝S2-S1＝4，a3＝S3-S2＝6，a4＝S4-a1-a2-a3＝8，那麼所謂通項公式 an＝2n，是從第二項開始的，而不包括a1． 師：那麼問題出在哪兒？ 生：如果應用上述關系式an=Sn-Sn-1，求a1，應為a1=S1-S0，但是S0又表示什麼含義呢？ 師：這個問題提的在理，S0表示什麼意義？ （教師在教學過程中，一定要抓住學生在回答問題時積極有意義的因素，這樣可以激發學生學習的興趣，有利於培養學生良好的思維品質） 師：我們在一開始已經指出前n項和公式Sn是關於n的函數解析式，自變量n的范圍是大於0的自然數，因此S0是沒有意義的，即a1=S1-S0此關系式是無任何意義的． 生：可見，an=Sn-Sn-1；這個關系式的缺憾就是不能表示首項a1，它成立的條件應該是n≥2． 師：那麼a1如何確定？ 生：a1可以由a1=S1確定． 師：這樣我們把an=Sn-Sn-1這個關系式就找完備瞭．即（板書） 那麼例2的正確解法為： （板書）解：n=1時，a1=S1=4． n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n+2-[（n-1）2+（n-1）+2]=2n． 生：我有一個想法，可以避免關系式中出現S0． 師；說出來大傢一起研究． （教師一定要保護學生思考的積極性，這樣可以培養學生的發散性思維） 生：（板書）an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2+（n+1）+2-n2-n-2=2n+2． 由於通項公式是關於項數n的函數解析式，所以an+1=f（n+1）=2n+2． 應用換元法求函數解析式：f（n）=2n．這樣得到通項公式：an=2n． 這種做法避免瞭S0，但為什麼還是錯誤的． 師：這種想法有一定道理，但隻要我們進一步探討，就會發現其中的問題． an+1=Sn+1-Sn=2n+2，此式也隻揭示瞭數列從第2項起，項與項數的函數關系，因此f（n+1）與f（n）的定義域不同，這種做法，雖然表面上避免瞭S0的出現，但它與前一種方法本質上是同出一轍的． 師：由上述兩例中不難看出，由前n項和Sn求通項公式an時，n=1的情況有時可以統一，如例1，有時隻能分類得到，如例2，那麼如何區別呢？這裡隻要驗證n=1時，an（n≥2）的表達式是否可以表示a1即可． （三）舉例鞏固 師：我們已經得到瞭前n項和Sn與通項公式an的關系，現在運用這一關系解決如下幾個問題． 例3 已知數列｛an｝的前n項和Sn，滿足：log2（Sn+1）=n+1．求此數列的通項公式an． （例3的目的是鞏固已學習過的知識，並且規范做題格式．學習數學其中一個很重要的目的是培養學生嚴謹的邏輯性，而這恰恰體現在學生做題的格式是否規范化上） 師：由例1，例2可知，要求出通項公式an，須求出Sn，即應由log2（Sn+1）=n+1，求出Sn，再利用數列前n項和Sn與通項公式an之間的關系，得到數列的通項公式an． 生：（板書） 解：由log2（Sn+1）=n+1，得Sn=2n+1-1 當n=1時，a1=S1=22-1=3； 當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-（2n-1）=2n． 例4 在數列｛an｝中，a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N+）．求數列｛an｝的通項公式． 師：現在我們的任務是如何求出數列前n項和Sn． 生：由已知an+1+Sn=n2+2n，得Sn=n2+2n-an+1． 師：這樣求出的Sn，是否能利用數列的前n項和與通項公式的關系，求出通項公式呢？顯然是不行的，因為數列的前n項和公式Sn是關於項數n的函數關系式，而Sn=n2+2n-an+1並不是關於項數n的函數關系式． 生：不妨也利用數列前n項和Sn與通項公式an的關系，將an+1表示為an+1=Sn+1-Sn，那麼an+1+Sn=n2+2n就轉化為關於Sn+1，Sn的關系式，再求Sn． 師：（板書）由於an+1=Sn+1-Sn，則an+1+Sn=Sn+1-Sn+Sn=Sn+1，即Sn+1=n2+2n． 師：再如何通過Sn+1求Sn？ 生：可以利用函數知識，因為前n項和Sn是關於項數n項的函數解析式，即已知Sn+1=f（n+1）=n2+2n，可以求出Sn=f（n）=Sn． 師：（板書）Sn+1=n2+2n=（n+1）2-1，則Sn=n2-1． （以下省略，得出結果） （四）課堂練習 已知數列前n項和Sn，求數列的通項公式an． 1．Sn=n2-2n+2； 2．Sn=n2+2-n-1； 答案： （五）課堂小結 通過本節課，我們學習瞭已知數列前n項和Sn，如何求出數列通項公式an的方法． 在運用上述關系時，一定要註意an=Sn-Sn-1成立的條件：n≥2，a1應由S1確定． （六）佈置作業 已知數列｛an｝的前n項和Sn，求它的通項公式： （1）Sn=an2+bn（a，b為已知常數）；（2）Sn=an2+bn+c（a，b，c為已知常數）； （3）Sn=n3+n-1． 作業答案： （1）an=2an-a+b （n∈N+）． 課堂教學設計說明 1．本節課的內容教材中基本未涉及，但這類問題在各級各類考試中均有所涉及，因此在日常教學中，應適時補充，究其授課深度應試學生程度而定，因材施教． 2．數列中，有三個基本問題．即關於數列的通項問題；關於數列的前n項和問題；關於數列的極限問題．一般說來，數列中的其他問題都是圍繞這三個問題展開的．可見，研究這三個問題是十分有意義，也是十分必要的． 數列｛an｝的前n項和公式，實際上就是數列｛Sn｝的通項公式，因此，Sn與an之間有著密切的聯系． ｛Sn｝：S1，S2，S3，S4，…，Sn-1，Sn，… ｛an｝：a1，a2，a3，a4，…，an， 不難看出：Sk+ak+1=Sk+1（k∈N+）， 3．從辯證統一的觀點看問題，Sn與an之間的關系，應包含兩層關系．一類為知Sn求an；另一類為知an求Sn·本節課所授內容隻是其中一類．至於另一類問題將是以後教學中的一個難點內容，即“數列求和”，辯證統一的觀點在中學數學中處處可見，教師應註意對學生進行這方面的教育，有助於提高學生的數學素質，培養學生研究數學問題的能力． 4．對於概念課的教學，切忌直接給出概念或公式，這樣無助於學生思維品質的培養，無助於學生能力的訓練．長期以往下去，學生解決問題能力無從談起．在教學中應盡可能地再現公式推導的過程，探討問題解決的過程比結論本身更具意義．在課堂教學中，鼓勵學生進行想象的創造性思維．如果學生對問題有自己獨特見解時，這可能是我們從數學活動中得到額外的有價值信息的機會，教師切莫認為學生是離譜的想象，要從中挖掘出有積極意義的部分，激發學生創造性智能，這才是我們數學教育的本質．正如愛因斯坦指出的：“發展獨立思考和獨立判斷的一般能力，應當始終放在首位，而不應當把獲得專業知識放在首位．” 上一篇范文： 構造思想方法下一篇范文： 第七屆日本數學奧林匹克競賽試題 分享到： |
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